LA DIMENSION 4 ET LES MATHEMATIQUES

C'est le besoin de nous déplacer qui engendre le concept de la quatrième dimension. Si nous ne pouvons qu'avancer ou reculer, nous sommes dans un espace à dimension 1, si nous nous dirigeons verts la droite et la gauche, nous sommes dans une dimension 2 et si nous voulons descendre ou monter nous sommes en dimension 3, c'est à dire l'espace dans lequel nous vivons. Pour mesurer notre déplacement, nous avons besoin des mathématiques et de ses nombres. Le besoin n'est plus de se déplacer physiquement pour visualiser la quatrième dimension.

Un hypercube est, en géométrie, un analogue n-dimensionnel d'un carré (n = 2) et d'un cube (n = 3). C'est une figure fermé, convexe, compacte constituée de groupes de segments parallèles opposés alignés dans chacune des dimensions de l'espace, à angle droit les uns par rapport aux autres.

La construction d'un hypercube peut être imaginée de la manière suivante :

• 1-dimension : Deux points A et B peuvent être connectés en un segment [AB].
• 2-dimensions : Deux segments parallèles [AB] et [CD] peuvent être connectés pour devenir un carré, avec les coins marqués ABCD.
• 3-dimensions : Deux carrés parallèles ABCD et EFGH peuvent être connectés pour devenir un cube, avec les coins marqués ABCDEFGH.
• 4-dimensions : Deux cubes parallèles ABCDEFGH et IJKLMNOP peuvent être connectés pour devenir un hypercube, avec les coins marqués ABCDEFGHIJKLMNOP.

Un tesséract est un objet à quatres dimensions spatiales : son intersection avec un espace peut être un cube de la même façon que l'intersaction d'un cube avec un plan peut donner un carré. Le tesséract peut être développé en huit cubes, comme le cube peut être développé en six carrés. Le développement d'un polyèdre est appelé un patron. Il existe 261 patrons distincts d'un tesséract :

D'après la formule de Gardner, on peut retrouver les propriétes du tesseract en développant 

(2x+1)4 : 

(2x+1)4 = 16*4 + 32*3 + 24*2 +8*1

Donc le tesséract est composé de :

16 sommets

32 arêtes

8 faces cubiques (soit 24 faces planes) : chacune des faces du tesséract est un cube

Pour un hypercube de côté c, on a les mesures suivantes :
Volume (quadridimentionnel) :c4

Surface externe (tridimentionnelle) : 8c3

Aire totale (bidimentionnelle) : 24c2

Les faces d'un hypercube sont :

Avant/Arriere

Gauche/Droite

Haut/Bas 

Un hypercube à n dimensions possède :

Vn = 2n sommets

Sn = 2*Sn-1+Vn-1 arrêtes (ou n*2n-1)

Fn = 2*Fn-1+ Sn-1 faces planes

HFn = 2*HFn-1+ Fn-1 hyperfaces (cubes et faces cubiques)

Suite hypercube :

V2 = 2*2

S2 = 4

F2 = 1

V3 = 2*2*2

S3 = 2S2+ V3

F3 = 2F2+ S3

Algorithme à présenter